Question

【题目】已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线：（）上.

（1）求抛物线的方程；

（2）直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，交轴于点，若.证明：直线过定点，并求出定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；定点.

【解析】

（1）利用抛物线的对称性，可知点在抛物线上，将点代入抛物线方程，求出值，进而得解；

（2先求出抛物线的准线方程，设出直线的方程，求出点和点坐标，设出点和点坐标，联立直线的方程与抛物线方程，得到，，然后进行向量数量积的坐标运算，化简，并将韦达定理代入，可得，求出的值，进而得解.

（1），

因为边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，

另外两个顶点在抛物线：（）上，

并且，该抛物线关于轴对称，

所以点在抛物线上，

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）证明：由（1）得抛物线的准线的方程为.

设直线的方程为（），

令，解得，所以，

，解得，所以，

由得，得，其中.

设，，则，，

则，，

，，

.

由，得，解得，

所以直线的方程为，因此直线过定点.