Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

2bn

bnSn- S 2 n

=1(n≥2)．
（1）求证数列{

1

Sn

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-

4

91

时，公比q的值．

Answer 1

分析：（1）由

2bn

bnSn- S 2 n

=1，知

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，由此能够推导出数列{b_n}的通项公式．
（2）因为1+2+3+…+12=

12×13

2

=78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列，由此能求出当a81=-

4

91

时，公比q的值．

解答：解：（1）由已知，当n≥2时，

2bn

bnSn- S 2 n

=1，又b_n=S_n-S_n-1，（1分）
所以

2(Sn-Sn-1)

(Sn-Sn-1)Sn- S 2 n

=1．（2分）
即

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，（4分）
又S₁=b₁=a₁=1，所以数列{

1

Sn

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．（5分）
所以

1

Sn

=

1

S1

+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，即Sn=

2

n+1

．（7分）
所以，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n-1+1

=-

2

n(n+1)

，（9分）
因此bn=

1(n=1) - 2 n(n+1) (n≥2).

（10分）
（2）因为1+2+3+…+12=

12×13

2

=78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列．（12分）
所以，a81=b13q2=-

4

91

，（13分）
又b13=-

2

13×14

，所以q=2．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要灵活运用数列通项公式的求解方法，合理地利用递推公式，仔细审题，认真解答．