Question

18．如图，三棱锥A-BCD的棱长均为2$\sqrt{3}$，将平面ACD沿CD旋转至平面PCD，且使得AP∥平面BCD．
（Ⅰ）求二面角A-CD-P的余弦值；
（Ⅱ）求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点E，连接AE，PE，则∠AEP为二面角A-CD-P的平面角，由此能求出二面角A-CD-P的余弦值．
（Ⅱ） 过A作AO⊥平面BCD，连接OP，推导出∠OPE为直线AB与平面PCD所成的角，由此能求出直线AB与平面PCD所成的角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）取CD中点E，连接AE，PE，
∵三棱锥A-BCD各棱长均为$2\sqrt{3}$，∴AE⊥CD，PE⊥CD，BE=AE=PE=3，
∴∠AEP为二面角A-CD-P的平面角，
又∵$cos∠AEB=\frac{{A{E^2}+B{E^2}-A{B^2}}}{2BE•AE}=\frac{1}{3}$，AP∥平面BCD，
∴AP∥BE∴∠PAE=∠AEB，
∴$cos∠PAE=cos∠AEB=\frac{1}{3}$，
$cos∠AEP=cos（π-2∠PAE）=-cos2∠PAE=1-2{cos^2}∠PAE=\frac{7}{9}$，
∴二面角A-CD-P的余弦值为$\frac{7}{9}$．
（Ⅱ） 过A作AO⊥平面BCD，连接OP，
由AP∥平面BCD，得AP∥BE，
∵BO=BE-EO=3-3cos∠AEB=2，
$AP=\sqrt{A{E^2}+P{E^2}-2AE•PEcos∠AEP}=2$，∴AP=BO，
∴四边形ABOP为平行四边形，∴AB∥OP，
∴∠OPE为直线AB与平面PCD所成的角，
∵OP=AB=$2\sqrt{3}$，PE=3，OE=1，
∴$cos∠OPE=\frac{{O{P^2}+P{E^2}-O{E^2}}}{2OP•PE}=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
∴$sin∠OPE=\frac{{\sqrt{6}}}{9}$，
∴直线AB与平面PCD所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{9}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．