Question

已知数列{b_n}的前n项和=n²﹣n．数列{}满足（）³=4^{﹣（bn+2）}，n∈N*，数列{c_n}满足c_n=b_n．
（1）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n≤m²+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得，
当n≥2时，b_n=﹣_﹣1=（n²﹣n）﹣[（n﹣1）²﹣（n﹣1）]=3n﹣2
又b₁=1=3×1﹣2，符合上式，
故数列{b_n}的通项公式为b_n=3n﹣2．
∵数列{}满足（）³=4^{﹣（bn+2）}
∴（）³=4^﹣3n，
∴=4^﹣n，
∴c_n=b_n=（3n﹣2）×4^﹣n，
∴T_n=1×4^﹣1+4×4^﹣2+…+（3n﹣2）×4^﹣n，①
∴T_n=1×4^﹣2+4×4^﹣3+…+（3n﹣2）×4^﹣n﹣1，②
①﹣②得T_n=4^﹣1+3[4^﹣2+4^﹣3+…+4^﹣n]﹣（3n﹣2）×4^﹣n﹣1=﹣（3n﹣2）×4^﹣n﹣1，
∴T_n=﹣×4^﹣n；                                  
（2）∵c_n=b_n=（3n﹣2）×4^﹣n，
∴c_n+1﹣c_n=（3n+1）×4^﹣n﹣1﹣（3n﹣2）×4^﹣n=﹣9（n﹣1）×4^﹣n﹣1，
当n=1时，c_n+1=c_n；
当n≥2时，c_n+1＜c_n，
∴（c_n）_max=c₁=c₂=
若c_n≤m²+m﹣1对一切正整数n恒成立，则m²+m﹣1≥即可，
∴m²+4m﹣5≥0，
∴m≤﹣5或m≥1．