Question

已知定义在R上的单调递增奇函数以f（x），若当0≤θ≤

π

2

时，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：利用定义在R上的单调递增奇函数，当0≤θ≤

π

2

时，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，等价于cosθ+msinθ＜2m+2，当0≤θ≤

π

2

时恒成立，分离参数，确定其范围，即可得到结论．

解答：解：∵当0≤θ≤

π

2

时，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，函数是奇函数，

∴当0≤θ≤

π

2

时，f（cosθ+msinθ）＜f（2m+2）恒成立，
∵函数是定义在R上的单调递增函数，
∴cosθ+msinθ＜2m+2，当0≤θ≤

π

2

时恒成立，
∴m＞

2-cosθ

sinθ-2

令t=

cosθ-2

sinθ-2

，其几何意义是（sinθ，cosθ）（0≤θ≤

π

2

）与（2，2）连线的斜率
∴

1

2

＜t＜2
∴-2＜

2-cosθ

sinθ-2

＜-

1

2

∴m＞-

1

2

．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．