Question

对于任意正整数j，k，定义a_jk=j-3（k-1），如，a_3，4=3-3（4-1）=-6．对于任意不小于2的正整数m、n，设
b（j，n）=a_j•1+a_j•2+…+a_j•n，S（m，n）=b（1，n）+b（2，n）+b（3，n）+…+b（m，n），则b（1，n）=

5n-3n2

2

； 
S（2，5）=

-45

．

Answer 1

分析：依据定义可将b（1，n）表示为 a_1，1+a_1，2+a_1，3+…+a_1，n，进而可转化为4n-3（1+2+…+n），利用等差数列的求和公式可以解决；先理解定义得S（2，5）=b（1，5）+b（2，5）再分别求和即可．

解答：解：由题意，b（1，n）=a_1，1+a_1，2+a_1，3+…+a_1，n=[1-3（1-1）]+[1-3（2-1）]+…+[1-3（n-1）]
=4n-3（1+2+…+n）=

1

2

(-3n2+5n)
∴b（m，n）=a_m，1+a_m，2+a_m，3+…+a_m，n=[m-3（1-1）]+[m-3（2-1）]+…+[m-3（n-1]
=n（m+3）-3（1+2+…+n）=

3n+2nm-3n2

2

当m=1时，b（1，n）=

5n-3n2

2

∴S（2，5）=b（1，5）+b（2，5）=

25-3×25

2

+

3×5+2×2×5-3×25

2

=-45
故答案为

1

2

(-3n2+5n)，-45

点评：本题主要考查了数列的应用，考查等差数列的求和和问题，解题的关键是理解新定义，并能准确利用题目中的定义合理地转化为数列的求和