Question

（2013•河东区二模）已知正项数列{a_n}中，a₁=6，点An(an，

an+1

)在抛物线y²=x+1上；数列{b_n}中，点B_n（n，b_n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=

an，(n为奇数) bn，(n为偶数)

，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式

an+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

an

n-2+an

≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）

Answer 1

分析：（Ⅰ）将点An(an，

an+1

)代入抛物线y²=x+1，得a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n；过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，把点B_n（n，b_n）代入能求出b_n．
（Ⅱ）由f（n）=

an，(n为奇数) bn，(n为偶数)

=

n+5，n为奇数 2n+1，n为偶数

，利用题设条件能推导出存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由

an+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

an

n-2 +an

≤0，知a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，设f（n+1）=

1

2n+5

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)(1+

1

bn+1

)，利用构造法能求出正数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）将点An(an，

an+1

)代入抛物线y²=x+1，
得a_n+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n+5，
∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，
点B_n（n，b_n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，
∴b_n=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=

an，(n为奇数) bn，(n为偶数)

=

n+5，n为奇数 2n+1，n为偶数

，
当k为偶数时，k+27为奇数，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
当k为奇数时，k+27为偶数，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=

35

2

（舍去）
综上所述，存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由

an+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

an

n-2 +an

≤0，
即a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，
设f（n+1）=

1

2n+5

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)(1+

1

bn+1

)，
∴

f(n+1)

f(n)

=

2n+3

2n+5

•(1+

1

bn+1

)
=

2n+3

2n+5

•

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 • 2n+3

=

4n2+16n+16

4n2+16n+15

＞1，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，
∴f（n）_min=f（1）=

1

5

•

4

3

=

4 5

15

，
∴0＜a≤

4 5

15

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．