Question

（2012•姜堰市模拟）已知数列{a_n}满足a₁=p，a₂=p+1，a_n+2-2a_n+1+a_n=n-20，其中p是给定的实数，n是正整数，若a_n的值最小，则n=

40

．

Answer 1

分析：将数列递推式变形，构造新数列，再利用叠加法确定数列的通项，进而可得不等式，即可得到结论．

解答：解：∵a_n+2-2a_n+1+a_n=n-20，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=n-20
设b_n=a_n+1-a_n，于是：b_n+1-b_n=n-20，b₁=a₂-a₁=1
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…（b_n-b_n-1）=1+（1-20）+…+[（n-1）-20]=1+

(n-1)n

2

-20（n-1）=

n2

2

-

41n

2

+21
a_n的值最小时，a_n+1-a_n≥0且a_n-a_n-1≤0，即b_n≥0且b_n-1≤0，
∴

n2 2 - 41n 2 +21≥0 (n-1)2 2 - 41(n-1) 2 +21≤0

解得：n=40
故答案为：40

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查解不等式，属于中档题．