Question

9．已知函数y=sin2x+sinx+cosx+2（x∈R），求函数的值域．

Answer 1

分析 换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得y=t²+t+1，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，∴sin2x=t²-1，
∴y=sin2x+sinx+cosx+2=t²-1+t+2=t²+t+1，
由二次函数可知，当t∈[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$]时，函数y=t²+t+1单调递减；
当t∈[-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]时，函数y=t²+t+1单调递增，
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值y_min=$\frac{3}{4}$；
当t=$\sqrt{2}$时，函数取最大值y_max=3+$\sqrt{2}$，
∴原函数的值域为：[$\frac{3}{4}$，3+$\sqrt{2}$]

点评 本题考查三角函数的值域，涉及换元法和三角函数的值域以及二次函数区间的最值，属中档题．