Question

18、关于在区间（a，b）上的可导函数f（x），有下列命题：①f（x）在（a，b）上是减函数的充要条件是
f′（x）＜0；②（a，b）上的点x₀为f（x）的极值点的充要条件是f′（x₀）=0；③若f（x）在（a，b）上有唯一的极值点x₀，则x₀一定是f（x）的最值点；④f（x）在（a，b）上一点x₀的左右两侧的导数异号的充要条件是点x₀是函数f（x）的极值点．其中正确命题的序号为

③④

．

Answer 1

分析：①由f′（x）＜0?f（x）在（a，b）上是减函数，但反之是f′（x）≤0，因为不研究一个点的单调性．②由极值点的定义判断．③由最值点的定义判断．④由极值点的定义判断，综合可得答案．

解答：解：①不正确，由f′（x）＜0?f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）在（a，b）上是减函数?f′（x）≤0
②不正确，点x₀为f（x）的极值点由必须满足两个条件一是f′（x₀）=0，二是两侧的正负相异．
③正确，f（x）在（a，b）上有唯一的极值点x₀，对函数来讲两侧的单调性相异．符合最值的定义．
④正确，由极值点的定义可知．
故答案为：③④

点评：本题主要考查用导数研究单调区间，极值点的定义，最值点的定义，在应用时一定要注意知识的完全性和纯粹性．