Question

7．将一张边长为6cm的纸片按如图l所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出； $\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2 $\sqrt{2}$，计算计算出a，代入公式即可．

解答 解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴正四棱锥的斜高为a，
∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，
∴正四棱锥的体积是$\frac{1}{3}$×a²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．