Question

已知椭圆的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线（称为椭圆的右准线）于P，Q两点．
（1）若当θ=30°时有，求椭圆的离心率；
（2）若离心率e=，求证：为定值．

Answer 1

解：（1）如图，作MM₁，NN₁垂直准线于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，
设|NF|=m，则|FM|=3m，根据椭圆的第二定义有：
，，∴，
在Rt△NMH中，∠NMH=30°，
∴=cos30°，
解得e=．
（2）当时，，
则椭圆方程化为：x²+2y²-2c²=0，
准线：x=，
设MN的方程为x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），
由A，M，P三点共线，得，，
由A，N，Q三点共线，得Q（），，
，①
把x=ty+c代入x²+2y²-2c²=0，得（2+t²）y²+2cty-c²=0，
，
∴，②

=
=
=
=．③
∵a=，
∴将②③代入①，整理得=0．
分析：（1）作MM₁，NN₁垂直准线于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，设|NF|=m，则|FM|=3m，根据椭圆的第二定义有：，，故，在Rt△NMH中，∠NMH=30°，由此能求出e．
（2）当时，，则椭圆方程化为：x²+2y²-2c²=0，准线：x=，设MN的方程为x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），由A，M，P三点共线，得，，由A，N，Q三点共线，得Q（），，由此能够证明为定值．
点评：本题考查椭圆方程的求法和向量数量积为定值的证明，具体涉及到椭圆的简单性质，根与系数的关系，椭圆的离心率等基本知识的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．