Question

设O为△ABC内部一点，

OC

=-

1

4

OA

-

1

2

OB

，则△ABC与△OBC的面积之比为

 

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，计算△ABC与△OBC的面积表达式，找出△ABC与△OBC面积之间的关系式，即可求出结论．

解答：解：画出图形，如图；
∵

OC

=-

1

4

OA

-

1

2

OB

，
∴取OA的中点D，连接BD，作OC的反向延长线OE，交BD于点E；
∴

OE

=

1

2

（

OD

+

OB

）=

1

2

（

1

2

OA

+

OB

）=

1

4

OA

+

1

2

OB

=-

OC

；
设∠BOE=α，∠DOE=β，
∴∠BOC=π-α，∠AOC=π-β；
∴S_△BOC=

1

2

|

OC

|•|

OB

|sin（π-α），
S_△BOE=

1

2

|

OE

|•|

OB

|sinα，
∴S_△BOC=S_△BOE；
∴S_△BOE=S_△DOE=

1

2

S_△BOD=

1

4

S_△AOB；
∴S_△BOC=

1

4

S_△AOB；
又S_△AOC=

1

2

|

OA

|•|

OC

|sin（π-β），
S_△DOE=

1

2

|

OD

|•|

OE

|sinβ，
∴S_△AOC=2S_△DOE=

1

2

S_△AOB；
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB+

1

4

S_△AOB+

1

2

S_△AOB=

7

4

S_△AOB；
∴

S△ABC

S△BOC

=

7 4 S△AOB

1 4 S△AOB

=7．
故答案为：7．

点评：本题考查了平面向量的线性运算以及向量在几何中的应用等问题，是易错题．