Question

【题目】已知函数f（x）=axln（x+1）+x+1（x＞﹣1，a∈R）．
（1）若 ，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，不等式f（x）≤ex恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： a= 时，f（x）= xln（x+1）+x+1，

f′（x）= [ln（x+1）+1﹣ ]+1，

∵f′（x）在（﹣1，+∞）递增，且f′（﹣1+ ）=0，

故x∈（﹣1，﹣1+ ）时，f′（x）＜0，f（x）递减，

x∈（﹣1+ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递减，

故f（x）在（﹣1，﹣1+ ）递减，在（﹣1+ ，+∞）；

（2）记g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，

则g′（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，

记h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，

h′（x）=a[ + ]﹣ex，h′（0）=2a﹣1，

①a≤ 时，∵ + ∈（0，2]，ex≥1，

∴h′（x）≤0，h（x）在（0，+∞）递减，

则h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，∴g（x）在（0，+∞）递减，

∴g（x）≤g（0）=0恒成立，即f（x）≤ex恒成立，满足题意；

②a≥ 时，h′（x）在（0，+∞）递减，

又h′（0）=2a﹣1＞0，x→+∞时，h′（x）→﹣∞，

则必存在x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，

则x∈（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，x0）递增，

此时h（x）＞h（0）=0，

x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）递增，

∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞ex，不合题意，

综上，a≤ ．

【解析】（1.）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2.）记g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，求出函数的导数，记h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而确定a的具体范围即可．

【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．