Question

若

a

是非零向量，则命题“

a

•

b

=

a

•

c

”是命题“

a

⊥(

b

-

c

)”成立的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：根据

a

•

b

=

a

•

c

则

a

(

b

-

c

)=0，当

a

是非零向量，

b

=

c

时上式成立，但命题“

a

⊥(

b

-

c

)”不成立，而若命题“

a

⊥(

b

-

c

)”成立则

a

(

b

-

c

)=0，即命题“

a

•

b

=

a

•

c

”成立，根据充要条件的判定方法可得结论．

解答：解：∵

a

•

b

=

a

•

c

∴

a

•(

b

-

c

)=0
当

a

是非零向量，

b

=

c

时上式成立，但命题“

a

⊥(

b

-

c

)”不成立，因为零向量与任意向量共线；
若命题“

a

⊥(

b

-

c

)”成立则

a

•(

b

-

c

)=0，即命题“

a

•

b

=

a

•

c

”成立
∴命题“

a

•

b

=

a

•

c

”是命题“

a

⊥(

b

-

c

)”成立的必要而不充分条件
故选B．

点评：本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．