Question

已知点M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲线C上的两点，点M、N关于x轴对称，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）当曲线C的方程分别为：x²+y²=R²（R＞0）、

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)时，探究x_E•x_F的值是否与点M、N、P的位置相关；
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为y²=2px（p＞0）时，探究x_E与x_F经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意N（k，-l），由klmn≠0及MP、NP与x轴有交点知M、P、N为不同点，直线PM的方程为y=

n-l

m-k

(x-m)+n，由此能够推导出x_E和x_F．
（Ⅱ）由M，P在圆C：x²+y²=R²上，知

m2=R2-n2 k2=R2-l2

，xE•xF=

n2k2-m2l2

n2-l2

=

n2(R2-l2)-(R2-n2)l2

n2-l2

=R2（定值）．所以x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．同理知x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．
（Ⅲ）一个探究结论是：x_E+x_F=0．证明如下：依题意，xE=

nk-ml

n-l

，xF=

nk+ml

n+l

．由M，P在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，能够导出x_E+x_F为定值．

解答：解：（Ⅰ）依题意N（k，-l），且∵klmn≠0及MP、NP与x轴有交点知：（2分）
M、P、N为不同点，直线PM的方程为y=

n-l

m-k

(x-m)+n，（3分）
则xE=

nk-ml

n-l

，同理可得xF=

nk+ml

n+l

．（5分）
（Ⅱ）∵M，P在圆C：x²+y²=R²上，∴

m2=R2-n2 k2=R2-l2

，
xE•xF=

n2k2-m2l2

n2-l2

=

n2(R2-l2)-(R2-n2)l2

n2-l2

=R2（定值）．
∴x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．（8分）
同理∵M，P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，∴

m2=a2- a2n2 b2 k2=a2- a2l2 b2

，xE•xF=

n2k2-m2l2

n2-l2

=

n2(a2- a2l2 b2 )-(a2- a2n2 b2 )l2

n2-l2

=a2（定值）．
∴x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．（11分）
（Ⅲ）一个探究结论是：x_E+x_F=0．（13分）
证明如下：依题意，xE=

nk-ml

n-l

，xF=

nk+ml

n+l

．
∵M，P在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，∴n²=2pm，l²=2pk.xE+xF=

2(n2k-ml2)

n2-l2

=

2(2pmk-2pmk)

n2-l2

=0．
∴x_E+x_F为定值．

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．