Question

在数列{a_n}中，a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

2n

（Ⅰ）设bn=

an

n

，写出数列{b_n}的递推关系式，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若bn＜

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知变形为

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，即bn+1-bn=

1

2n

．利用“累加求和”即可得出；
（II）由（I）可得an=2n-

n

2n-1

，利用分组求和，再利用等差数列的前n项和公式和“错位相减法”即可得出S_n．
（III）数列{b_n}单调递增，可得b_n＜2．又bn＜

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立?

1

4

m2+m-1＞(bn)max．解出即可．

解答：解：（I）由a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

2n

，
可得

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，∴bn+1-bn=

1

2n

．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=

1

2n-1

+

1

2n-2

+…+

1

2

+1
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
（II）由（I）可得an=2n-

n

2n-1

，
令T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
则

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
相减得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=4-

n

2n-1

．
∴Sn=2×

n(n+1)

2

-(4-

n

2n-1

)=n(n+1)+

n

2n-1

-4．
（III）∵数列{b_n}单调递增，∴b_n＜2．∵bn＜

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，∴

1

4

m2+m-1＞(bn)max．
∴

1

4

m2+m-1≥2，解得m≤-6或m≥2．

点评：熟练掌握“累加求和”、分组求和、等差数列与等比数列的前n项和公式和“错位相减法”、数列单调性、恒成立问题的等价转化等是解题的关键．