Question

在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式对sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1进行化简，最后求得cosB，进而求得B．
（Ⅱ）由余弦定理可得 b²=9=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-

3

4

（a+c）2=(

a+c

2

)2，由此求得a+c的最大值．

解答：解：（1）∵sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，∴4sin²Bcos²B+2sin²BcosB-2sin²B=0，
即2sin²B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=

π

3

．
（Ⅱ）若b=3，由上可得∠B=

π

3

，由余弦定理可得 cosB=

a2+c 2-b 2

2ac

=

1

2

，
∴b²=9=a²+c²-2ac×

1

2

=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-

3

4

 （a+c）²=(

a+c

2

)2，
∴a+c≤6，即a+c的最大值为6．

点评：本题主要考查了余弦定理、二倍角公式的应用．在求最值的问题上，对于二次函数，常用配方法来求，属于中档题．