Question

f（x）是定义在（-1，1）上的函数，对于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)成立，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，给出下列命题：
①f（0）=0；  
②函数f（x）是偶函数；  
③函数f（x）只有一个零点；  
④f（

1

2

）+f（

1

3

）＜f（

1

4

），
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①，令x=y=0，即可求得f（0）=0；
②先令y=-x得f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

）（1），再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（

-2x

1+x2

）（2），二者联立，即可判断函数f（x）的奇偶性；
③由①中f（0）=0，②函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，及已知“当x∈（-1，0）时，f（x）＞0”即可判断③之正误；
④依题意，作差f（

1

3

）-f（

1

2

）=f（-

1

5

）＞0，可知f（

1

3

）＞f（

1

2

），同理可知f（

1

4

）＞f（

1

3

），于是可知④之正误．

解答：解：对于①，∵对于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)成立，
∴令x=y=0，得f（0）-f（0）=f（0）=0，故①正确；
对于②，令y=-x得：f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

）（1），
再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（

-2x

1+x2

）（2），
（1）+（2）得：f（

2x

1+x2

）+f（

-2x

1+x2

）=0，
∴f（

-2x

1+x2

）=-f（

2x

1+x2

），
∴定义在（-1，1）上的函数f（x）为奇函数，故②错误；
对于③，∵函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
∴当x∈（0，1）时，f（x）＜0，又f（0）=0，
∴函数f（x）在（-1，1）上只有一个零点，故③正确； 
对于④，∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
∴f（

1

3

）-f（

1

2

）=f（

1 3 - 1 2

1- 1 3 × 1 2

）=f（-

1

5

）＞0，
∴f（

1

3

）＞f（

1

2

）；
同理可得，f（

1

4

）＞f（

1

3

），
∴f（

1

2

）+f（

1

3

）＜f（

1

4

），即④正确；
综上所述，正确命题的个数是3个，
故选：C．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，判断函数f（x）的奇偶性是难点，也是解决问题的关键，考查转化思想与创新思维能力，属于难题．