Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，a=5，试求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两角和差的三角公式sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，即sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，即tanB=$\sqrt{3}$，从而求得∠B的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求b，由正弦定理解得sinA，sinC的值，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
整理得：sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，即sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，
∵∠A为三角形内角，∴sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，即tanB=$\sqrt{3}$，
∴∠B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=5，S=5$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×5×c，解得：c=4．
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=25+16-20=21，解得：b=$\sqrt{21}$，
∴由正弦定理$\frac{5}{sinA}=\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{sinC}$，可得：sinAsinC=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}×$$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}$=$\frac{15}{21}$．

点评 此题考查了正弦定理、余弦定理、两角和差的三角函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．