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已知点O为坐标原点,圆C过点(1,1),(-2,4)且圆心在y轴.
(Ⅰ)求圆C的标准方程;
(Ⅱ)如果过点P(1,0)的直线l与圆C交于A,B两点,且|AB|=2
3
,试求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)求出(1,1)与(-2,4)确定直线的方程斜率,以及线段中点坐标,求出线段垂直平分线方程与y轴交点即为圆心C坐标,进而确定出半径,写出圆C的标准方程即可;
(Ⅱ)设过P直线方程为y=k(x-1),利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线的距离d,根据弦长,利用垂径定理及勾股定理列出方程,求出方程的解得到k的值,即可确定出直线l方程.
解答:解:(Ⅰ)过(1,1),(-2,4)的直线方程的斜率为
4-1
-2-1
=-1,线段中点坐标为(-
1
2
5
2
),
∴线段垂直平分线方程为y-
5
2
=x+
1
2

令x=0,得到y=3,即圆心C(0,3),
∴半径r=
(1-0)2+(1-3)2
=
5

则圆C的标准方程为x2+(y-3)2=5;
(Ⅱ)设过P直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
∵圆心C到直线的距离d=
|-3-k|
k2+1
,|AB|=2
3

∴|AB|=2
r2-d2
,即5-
(k+3)2
k2+1
=3,
解得:k=7或k=-1,
则直线l方程为7x-y-7=0或x+y-1=0.
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,以及圆的标准方程,涉及的知识有:两点间的距离公式,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,直线的点斜式方程,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
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3
,其斜二测画法的直观图为△O′A′B′,则点B′到边O′A′的距离为
 

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(1)求圆C的标准方程;
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(3)如果过点P(1,0)的直线l与圆C交于A、B两点,且|AB|=2
3
,试求直线l的方程.

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