Question

4．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与D的交点，若$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{c}$，用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}表示向量$\overrightarrow{{C}_{1}M}$．

Answer 1

分析 根据空间向量的线性运算的几何意义，利用平行六面体的性质，用向量$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$、$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$和$\overrightarrow{{A}_{1}A}$表示出向量$\overrightarrow{{C}_{1}M}$即可．

解答 解：平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{A{{\;}_{1}D}_{1}}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$
∴向量$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=$\overrightarrow{CM}$-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{D}_{1}A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{B}_{1}A}_{1}}$-$\overrightarrow{{AA}_{1}}$
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查了空间向量的线性运算的几何意义与应用问题，是基础题目．