Question

直线x+y=a与圆x²+y²=-a²+2a有公共点（m，n），且t=mn，则t的取值范围为（　　）

• A．[-

  1

  4

  ，

  4

  9

  ]
• B．[-

  1

  4

  ，2]
• C．[-

  1

  4

  ，

  1

  2

  ]
• D．[-

  1

  4

  ，+∞]

Answer 1

分析：由x²+y²=-a²+2a为圆的方程，得到-a²+2a大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，同时根据直线与圆相交，得到圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，求出两解集的交集得到满足题意的a的范围，然后把公共点的坐标代入直线和圆的方程，分别得到关于m与n的两个方程，联立两方程可表示出mn，即为t关于a的二次函数关系式，由a的范围，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值及最小值，得到t的取值范围．

解答：解：由圆的方程x²+y²=-a²+2a，得到-a²+2a＞0，
即a（a-2）＜0，
解得：0＜a＜2，
由直线与圆相交，
得到圆心到直线的距离d=

|a|

2

＜r=

-a2+2a

，
整理得：a（3a-4）≤0，
解得：0≤a≤

4

3

，
∴a的取值范围为0＜a≤

4

3

，
把公共点（m，n）代入直线方程得：m+n=a①，
代入圆方程得：m²+n²=-a²+2a②，
联立①②解得：mn=a²-a，即t=a²-a，
根据二次函数的性质可知：t的最小值为-

1

4

，最大值为

16

9

-

4

3

=

4

9

，
则t的取值范围是[-

1

4

，

4

9

]．
故选A．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：二元二次方程构成圆的条件，点到直线的距离公式，以及二次函数的性质，当直线与圆相交或相切时圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，熟练运用此性质是解本题的关键．