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如图已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，且过点A（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P（0，- $数学公式$ ）．

解：（1）由题意知，e= $\text{[math]}$ ，b=1，a²-c²=1，…（4分）
解得a=2，
所以椭圆C的标准方程为 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（2）设直线l₁的方程为y=kx+1，
由方程组 $\text{[math]}$ ，得（4k²+1）x²+8kx=0，…（8分）
解得 $\text{[math]}$ ，x₂=0，所以 $\text{[math]}$ ，y_M= $\text{[math]}$ ，…（10分）
同理可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（12分）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…（14分）
所以M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P（0，- $\text{[math]}$ ）．…（16分）
分析：（1）由题意知，e= $\text{[math]}$ ，b=1，a²-c²=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l₁的方程为y=kx+1，由方程组 $\text{[math]}$ ，得（4k²+1）x²+8kx=0，利用题设条件推导出直线MP与直线NP的斜率相等，从而得到M，N，P三点共线，由此证明直线MN恒过定点P（0，- $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

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