Question

设方程xlnx=2013的解为α，方程xe^x=2013的解为β，则α•β的值为________．

Answer 1

2013
分析：由已知可得α是函数f（x）=lnx的图象与函数h（x）=的图象交点的横坐标，同理β是函数g（x）=e^x的图象与函数h（x）=的图象交点的横坐标，而函数f（x）=lnx与函数g（x）=e^x互为反函数，互为反函数的图象关于直线y=x对称，据此可得到答案．
解答：由方程xlnx=2013，得，
∵α为方程xlnx=2013的解，∴α是函数f（x）=lnx的图象与函数h（x）=的图象交点的横坐标，于是两个函数的交点为P；
同理β是函数g（x）=e^x的图象与函数h（x）=的图象交点的横坐标，于是两个函数的交点为Q；
∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=e^x互为反函数，
∴点P与Q关于直线y=x对称，
∴，即αβ=2013．
故答案为2013．
点评：本题考查方程的解，其实质是考查互为反函数的图象关于直线y=x对称．