Question

如图所示，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的

2

3

，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，可得M（c，

2

3

b），利用勾股定理与椭圆的定义建立关于a、b、c的等式，化简整理得b=

2

3

a，从而得出c=

a2-b2

=

5

3

a，即可算出该椭圆的离心率．

解答：解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，
可得焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），点M的坐标为（c，

2

3

b），
∵Rt△MF₁F₂中，F₁F₂⊥MF₂，
∴|F₁F₂|²+|MF₂|²=|MF₁|²，即4c²+

4

9

b²=|MF₁|²，
根据椭圆的定义得|MF₁|+|MF₂|=2a，
可得|MF₁|²=（2a-|MF₂|）²=（2a-

2

3

b）²，
∴（2a-

2

3

b）²=4c²+

4

9

b²，整理得4c²=4a²-

8

3

ab，
可得3（a²-c²）=2ab，所以3b²=2ab，解得b=

2

3

a，
∴c=

a2-b2

=

5

3

a，
因此可得e=

c

a

=

5

3

，
即该椭圆的离心率等于

5

3

．

点评：本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的大小．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，考查了勾股定理的应用，属于中档题．