Question

（本题满分14分）一副三角板（如答卷图），其中中，AB=AC，， 中，，，现将两相等长的边BC、MN重合，并翻折构成四面体ABC   D．

（1）当平面ABC平面BCD（图（1））时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值；

（2）当将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等时（图（2）），

       ①求证：A在平面BCD内的射影是BD的中点；

       ②求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

（本小题满分14分）

       解：（1）过A作AEBC于E，连ED，面ABC面BCD，   

       就是AD与面BCD所成的角----------2分

∵DC=，则BC=，AE=，DE=

       ，

       即AD与面BCD所成角的正弦值为．----------5分

（2）①设A在平面BCD内的射影为O,连OB、OC、OD，

，

      

       是的外心，即BD边的中  点．-----------9分

       ②取CD中点F，连OF、AF，由①得A在面BCD内的射影为O，

       OF∥BC，∴ OF⊥CD，∴AF⊥CD，

       ∴∠AFO就是二面角A-CD-B的平面角；-----------11分

       ∵,∴,,∴,

       又 ∵

       ∴，∴中，

       即二面角A-CD-B的余弦值为----------------14分