Question

请同学们利用导数知识求和S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0,n∈N^*).

Answer 1

思路:本题采用逆向思维,构造S_n的原函数,这里通过通项公式nx^n-1可发现:(xⁿ)′=nx^n-1,同时注意对x的分类讨论.

探究:当x=1时,S_n=1+2+3+…+n=;

当x≠1时,∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

∴(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′=.

∴S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=.