Question

【题目】在△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（G．H不重合），
（I）求动点C的轨迹Γ的方程；
（II）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（ ），H（x， ）．

=（x﹣1， ）， =（x+1，y），

∵H为垂心，∴ =x2﹣1+ =0，整理可得x2+ =1，

即动点C的轨迹Г的方程为x2+ =1（xy≠0）；

（Ⅱ）显然直线AC的斜率存在，设方程AC为y=k（x+1），C（x0，y0）．

将y=k（x+1）代入x2+ =1得（3+k2）x2+2k2x+k2﹣3=0，

解得x0= ，y0= ，则H（ ， ）．

原点O到直线AC的距离d= ，

依题意可得 ，

即7k4+2k2﹣9=0，解得k2=1，即k=1或﹣1，

故所求直线AC的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1

【解析】（Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（ ），H（x， ），求出 ， 的坐标，再由 =0整理得答案；（Ⅱ）设方程AC为y=k（x+1），C（x0，y0）．联立直线方程和椭圆方程，求出H的坐标，由点到直线的距离公式求得原点O到直线AC的距离，结合题意得到关于k的等式，求出k值后可得直线AC的方程．