Question

设A_n为数列{a_n}的前n项和，A_n= (a_n－1)，数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3;

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)把数列{a_n}与{b_n}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明:数列{d_n}的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹;

(3)设数列{d_n}的第n项是数列{b_n}中的第r项，B_r为数列{b_n}的前r项的和；D_n为数列{d_n}的前n项和，T_n=B_r－D_n，求 

Answer 1

(1) a_n=3ⁿ (2)证明略 (3)

解析:

(1)由A_n=(a_n－1)，可知A_n+1=(a_n+1－1)，

∴a_n+1－a_n= (a_n+1－a_n)，即=3，而a₁=A₁= (a₁－1)，得a₁=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a_n}的通项公式a_n=3ⁿ.

(2)∵3²ⁿ⁺¹=3·3²ⁿ=3·(4－1)²ⁿ

=3·［4²ⁿ+C·4^2n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)²ⁿ］=4n+3，

∴3²ⁿ+1∈{b_n}.

而数3²ⁿ=(4－1)²ⁿ

=4²ⁿ+C·4^2n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)²ⁿ=(4k+1)，

∴3²ⁿ{b_n}，而数列{a_n}={a_2n+1}∪{a_2n}，∴d_n=3²ⁿ⁺¹.

(3)由3²ⁿ⁺¹=4·r+3，可知r=，

∴B_r=，