Question

某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加，否则都不参加，设每人成绩合格的概率都是

2

3

，求：
（1）三人中至少有1人成绩合格的概率；
（2）去参加竞赛的人数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意可以用A，B，C分别表示甲乙丙三人参加省数学竞赛选拔考试成绩合格，由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=

2

3

=P（B）=P（C），利用独立事件同时发生及对立事件的概率公式即可求得；
（2）由于ξ表示去参加竞赛的人数，所以根据题意该随机变量可以取值0，1，2，3，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式求出每一个随机变量取值下的事件的概率，并利用随机变量的定义写出分布列并利用分布列求出期望即可．

解答：解：（1）用A，B，C分别表示甲乙丙三人参加省数学竞赛选拔考试成绩合格，由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=

2

3

=P（B）=P（C），利用独立事件同时发生及对立事件的定义则：三人中至少有1人成绩合格的概率P=1-P(A)P(B)P(C)=1-(

1

3

)3=

26

27

，
   （2）由题意由于ξ表示去参加竞赛的人数，所以该随机变量可以取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)+P(

.

A

.

B

.

C

)=(

1

3

)2•

2

3

+(

1

3

)2•

2

3

+ (

1

3

)3 =

5

27

，
P（ξ=1）=P(A

.

B

C)+P(AB

.

C

 )+P(A

.

B

.

C

)=(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)2•

1

3

 +(

1

3

)2•

2

3

 =

10

27

，
P（ξ=2）=P(

.

A

BC)=P( 

.

A

 )P(B)P(C)=

4

27

，
P（ξ=3）=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B)P(C)=

8

27

，
所以ξ的分布列为：

所以随机变量ξ的期望Eξ=0×

5

27

+1×

10

27

+2×

4

27

+3×

8

27

=

42

27

．

点评：此题属于基本题型，重点在与学生要正确理解题意，还要分清事件，并用准相应的概率公式，此外此题还考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并利用分布列借助期望定义求出期望．