Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分别为C₁D₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直：DE⊥BC，DE⊥EC从而得到线面垂直．
（Ⅱ）要证线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件：在平面BDE内找一条与AF平行的直线，通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD₁C₁，DE?侧面CDD₁C₁，
∴DE⊥BC，（3分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=

2

a，则有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，（6分）
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、A₁C₁，连AC交BD于O，
∵EF

∥ .

.

1

2

A1C1，AO

∥ .

.

1

2

A1C1，
∴四边形AOEF是平行四边形，（10分）
∴AF∥OE（11分）
又∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，是个中档题，注意辅助线的作法．