Question

一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面 的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是

1. A.
   3 或 8
2. B.
   8 或 11
3. C.
   5 或 8
4. D.
   3 或 11

Answer 1

D
分析：小球在长方体容器内，且与共点的三个面相接触，则小球的球心A到三个接触面的距离相等，小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，若以三个面的交点为坐标原点，分别以其中两个面的交线为坐标轴建立空间直角坐标系后，球心和小球上的点的坐标可知，向量和的坐标可求，由向量减法的三角形法则可得向量，向量的模就是小球的半径，由半径相等列式可求这只小球的半径．
解答：解：如图，
设长方体的三个面共点为O，以OE，OF，OG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心A（r，r，r），
又因为小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，
所以点为P（5，4，5），
则，．
由=（5-r，4-r，5-r）．
∴，
即r²-14r+33=0，解得：r=3或r=11．
故选D．
点评：本题考查了求外切多面体，考查了空间点、线、面间的距离的计算，利用空间向量处理该题起到事半功倍的效果，属中档题．