Question

设F是抛物线y²=16x的焦点，A，B，C在抛物线上，且横坐标分别是x₁，x₂，x₃，则下列说法正确的有

 

．
①若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，则|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=24；
②若x₁+x₃=2x₂，则|

FA

|，|

FB

|，|

FC

|成等差数列；
③若直线AB经过点F，则以AB为直径的圆与直线x=-4相切．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①根据

FA

+

FB

+

FC

=

0

，可判断点F是△ABC重心，进而可求x₁+x₂+x₃的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．
②|

FA

|+|

FC

|=x₁+x₃+8=2（x₂+4）=2|

FB

|，可得|

FA

|，|

FB

|，|

FC

|成等差数列；
③AB的中点到直线x=-4的距离等于

1

2

AB，可得结论．

解答： 解：抛物线焦点坐标F（4，0），准线方程：x=-4
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，∴点F是△ABC重心，
∴x₁+x₂+x₃=12，
∵|FA|=x₁-（-4）=x₁+4，|FB|=x₂-（-4）=x₂+4，|FC|=x₃-（-4）=x₃+4
∴|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=x₁+4+x₂+4+x₃+4=（x₁+x₂+x₃）+12=24，故①正确；
|

FA

|+|

FC

|=x₁+x₃+8=2（x₂+4）=2|

FB

|，∴|

FA

|，|

FB

|，|

FC

|成等差数列，故②正确；
∵AB的中点到直线x=-4的距离等于

1

2

AB，∴以AB为直径的圆与直线x=-4相切，故③正确．
故答案为：①②③

点评：本题重点考查抛物线的简单性质与定义，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F点为三角形的重心．