Question

曲线y=2e^-x在点(x0，

2

e

)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

• A．

  1

  2

  e2
• B．

  1

  e

• C．e²
• D．

  4

  e

Answer 1

分析：欲求切线与坐标轴所围三角形的面积的大小，只须求出其斜率得到切线的方程即可，故先利用导数求出在x=x₀处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答：解：∵y=2e^-x，∴y′=-2e^-x，
∵曲线y=2e^-x过(x0，

2

e

)，∴2e-x0=

2

e

，解得x₀=1．
k=y′|_x=1=-2e^-1=-

2

e

．
∴曲线y=2e^-x在点(x0，

2

e

)处的切线方程为：y-

2

e

=-

2

e

（x-1），
整理，得y=-

2

e

x+

4

e

．
∵y=-

2

e

x+

4

e

与坐标轴的交点坐标为（0，

4

e

），（2，0），
∴曲线y=2e^-x在点(x0，

2

e

)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为：
S=

1

2

×

4

e

×2=

4

e

．
故选D．

点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．