Question

在正方体中，分别的中点.

（1）求证：；
（2）已知是靠近的的四等分点，求证：.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析

解析试题分析：（1）用普通方法不容易证且为正方体故选用空间向量法。先建立空间直角坐标系，设出正方体的边长得各点的坐标。用向量垂直证线线垂直，再根据线面垂直的定义证得线面垂直。（2）由（1）可知，用向量证得，即,再根据线面平行的判定定理证得线面平行。
试题解析：证明：如图所示，建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为.
∵分别的中点，
∴，，
，.                       1分
（1）∵，∴.    2分
∵，，，
∴，.      3分
∵，
，
∴，.                      5分
∵是平面上的两条相交直线，∴.     6分
（2）∵是靠近的的四等分点，∴.          7分
设，则，
∴，
∴.           9分
∴，∴，
∵，且不在平面内，∴.    12分
考点：空间向量法在立体几何中的应用。