Question

20．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为$\frac{1}{2}$，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}$，其中x，y∈R，则4x-y的最大值为（　　）

• A． $3-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• B． $3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． 2
• D． $3+\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}$

Answer 1

分析 建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标代入圆内方程求出4x-y范围．

解答 解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），
直线BD的方程为x+2y-2=0，C到BD的距离d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴圆弧以点C为圆心的圆方程为（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
设P（m，n）则$\overrightarrow{AP}$=（m，n），
$\overrightarrow{AD}$=（0，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1）
若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}$，
∴（m，n）=（2x-y，y）
∴m=2x-y，n=y
∵P在圆内或圆上
∴（2x-y-1）²+（y-1）²≤$\frac{1}{4}$，
设4x-y=t，则y=4x-t，代入上式整理得80x²-（48t+16）x+8t²+7≤0，
设f（x）=80x²-（48t+32）x+8t²+7≤0，x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）＜0}\\{f（\frac{3}{2}）＜0}\end{array}\right.$，
解得2≤t≤3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故4x-y的最大值为3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：B

点评 本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题