Question

函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+a在[0，2]恰有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（2）可以记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，对其进行求导利用导数研究其单调区间，将问题转化为方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，根据二次函数的性质求出a的范围；

解答：解：（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），
f（x）=2[（x+1）-

1

x+1

]-

2x(x+2)

x+1

由f′（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，
由f′（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0，
所以f（x）的递增区间是（-2，-1），（0，+∞）
递减区间是（-∞，-2），（-1，0）
（2）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，则g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
由g′（x）＞0，得x＜-1，或x＞1；
由g′（x）＜0，得-1＜x＜1；
所以g（x）在[0，1]在上单调递减，在[1，2]上单调递增，
为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

即

-a+1≥0 2-a-2ln2＜0 3-a-2ln3≥0

，
解得2-2ln2＜a≤3-2lm3，
故实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]；

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，还考查了数学中的转化思想，是一道中档题；