Question

设F₁，F₂为椭圆x²+4y²=4m（m＞0）的两个焦点，点P在椭圆上，且满足

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|•|

PF2

|=2则m的值为

1

．

Answer 1

分析：将椭圆x²+4y²=4m化成标准方程，并结合椭圆定义，得|

PF1

|+|

PF2

|=4

m

，由已知|

PF1

|•|

PF2

|=2化简整理，即可得到|

PF1

|²+|

PF2

|²=16m-4．再根据

PF1

•

PF2

=0，得△PF₁F₂是以F₁F₂为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式得|

PF1

|²+|

PF2

|²=12m，将得到的式子进行对照，即可解出m的值．

解答：解：椭圆x²+4y²=4m化成标准方程，得

x2

4m

+

y2

m

=1
∴a²=4m，b²=m，得a=2

m

，b=

m

∵点P在椭圆上，∴|

PF1

|+|

PF2

|=2a=4

m

…①
①式平方，得|

PF1

|²+|

PF2

|²+2|

PF1

|•|

PF2

|=16m
∵|

PF1

|•|

PF2

|=2，∴|

PF1

|²+|

PF2

|²=16m-4…②
∵

PF1

•

PF2

=0，∴

PF1

⊥

PF2

，得△PF₁F₂是以F₁F₂为斜边的直角三角形
∴|

PF1

|²+|

PF2

|²=|

F1F2

|²=4c²=4a²-4b²=12m…③
．比较②③，可得16m-4=12m，解之得m=1
故答案为：1

点评：本题给出含有字母参数的椭圆方程，在焦点三角形是直角三角形且已知两条直角边之积的情况下，求参数的值，着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．