Question

8．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）．
（2）在区间[-1，1]上，函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果．
（2）转化为x²-3x+1＞m，在x∈[-1，1]时恒成立，令k（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，单调递减，转为最值来研究恒成立问题

解答 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=0\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$
所以f（x）=x²-x+1；
（2）∵当x∈[-1，1]时，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，
∴x²-3x+1＞m，在x∈[-1，1]时恒成立，
令k（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，单调递减
∴k（x）≥k（1）=-1，
m＜-1，
故实数m的取值范围：m＜-1．

点评 本题考查二次函数的解析式，对称性，单调性，最大值，最小值，不等式恒成立问题，属于对二次函数的综合题．