Question

下列命题中，正确的是

①②③

①平面向量

a

与

b

的夹角为60°，

a

=（2，0），|

b

|=1，则|

a

+

b

|=

7

；
②已知

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

）其中θ∈（π，

3π

2

）则

a

⊥

b

；
③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．

Answer 1

分析：①由

a

=(2，0)，求出|

a

|，在三个向量

a

，

b

，

a

+

b

构成的三角形中，运用余弦定理求|

a

+

b

|；
②写出两个向量的数量积，运用同角三角函数的基本关系式整理即可得到结论；
③把给出等式中的角的正弦值用对应边长和外接圆半径表示，移向整理后得即

AP

=2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)．
由此式可知直线AP一定通过△ABC的内心．

解答：解：①如图，

因为

a

=（2，0），所以|

a

|=

22+02

=2，

a

+

b

对应的向量是以

a

和

b

为邻边的平行四边形的对角线，
由余弦定理得：|

a

+

b

|=

| a |2+| b |2-2| a || b |cos120°

=

22+12-2×2×1×(- 1 2 )

=

7

，
所以①正确；
②由

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

），
则

a

•

b

=sinθ+

(1+cosθ)(1-cosθ)

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ+

sin2θ

=sinθ+|sinθ|，
因为θ∈（π，

3π

2

），所以sinθ＜0，
所以

a

•

b

=sinθ-sinθ=0，所以

a

⊥

b

，
所以②正确；
③如图，


在△ABC中，由

| AB |

sinC

=

| AC |

sinB

=2R（R为三角形ABC外接圆半径），所以sinC=

| AB |

2R

，sinB=

| AC |

2R

，
所以

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

）=

OA

+λ(

2R AB

| AB |

+

2R AC

| AC |

)=

OA

+2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，
即

AP

=2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)．
所以直线AP一定通过△ABC的内心．
所以③正确．
故答案为①②③

点评：本题考查了命题的真假的判断与运用，解答此题的关键是判断③，需要掌握的是

a

| a |

表示

a

方向上的单位向量，此题是中档题．