Question

已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0．若双曲线的焦距是2

3

，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：根据题意，设双曲线的标准方程为4x²-9y²=λ（λ≠0）．再由λ的正负进行讨论，化成标准方程并建立关于λ的等式，解出λ的值即可得到该双曲线的标准方程．

解答：解：∵双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，
∴设双曲线的标准方程为（2x+3y）（2x-3y）=λ（λ≠0），
即4x²-9y²=λ，
①当λ＞0时，化成标准方程为

x2

λ 4

-

y2

λ 9

=1，
∵双曲线的焦距是2

3

，∴c=

3

，得

λ

4

+

λ

9

=c2=3，解之得λ=

108

13

∴此时双曲线的标准方程为

x2

27 13

-

y2

12 13

=1；
②当λ＞0时，类似①的方法求得双曲线的标准方程为

y2

12 13

-

x2

27 13

=1．
综上所述，双曲线的标准方程为

x2

27 13

-

y2

12 13

=1或

y2

12 13

-

x2

27 13

=1．

点评：本题给出双曲线的渐近线方程和焦距，求双曲线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．