Question

（2012•南宁模拟）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为

6

4

．
（1）在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥面DBC，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG，则CG⊥AB，由DB⊥平面ABC，知DB⊥CG，所以CG⊥面ABDE，sin∠CDG=

CG

CD

=

6

4

，CG=

3

，故CD=2

2

，DB=

CD2-CB2

=2，由此能够得到存在F为CD中点，DF=

2

时，使得EF⊥面DBC．
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，则

BE

=（2，0，1），

EC

=(-1，

3

，-1)，

DE

=(2，0，-1)．求出平面BCE的法向量

n1

=(1，-

3

3

，-2)和平面CDE的法向量

n2

=(1，

3

，2)，由向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG，则CG⊥AB，
∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥CG，
所以CG⊥面ABDE，
所以sin∠CDG=

CG

CD

=

6

4

，CG=

3

，
故CD=2

2

，DB=

CD2-CB2

=2（3分）
取CD的中点为F，BC的中点为H，
因为FH∥-

1

2

BD，AE∥-

1

2

BD，
所以AEFH为平行四边形，得EF∥AH，（5分）

AH⊥BC AH⊥BD

⇒AH⊥平面BCD
∴EF⊥面DBC
存在F为CD中点，DF=

2

时，使得EF⊥面DBC．（7分）
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，
且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，
CD与平面ABDE所成角的正弦值为

6

4

．
∴C(1，

3

，0)、B（0，0，0）、E（2，0，1）、D（0，0，2），
从而

BE

=（2，0，1），

EC

=(-1，

3

，-1)，

DE

=(2，0，-1)．（8分）
设

n1

=(x，y，z)为平面BCE的法向量，
则

n1 • BE =2x+z=0 n1 • EC =-x+ 3 y-z=0

⇒可以取

n1

=(1，-

3

3

，-2)（10分）
设

n2

=(x，y，z)为平面CDE的法向量，
则

n1 • DE =2x-z=0 n1 • EC =-x+ 3 y-z=0

⇒取

n2

=(1，

3

，2)（11分）
因此，cos＜

n1

•

n2

＞=

-4

8 6 3

=-

6

4

，（13分）
故二面角D-EC-B的余弦值为

6

4

（14分）

点评：本题考查在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥面DBC的判断和求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．解题时要认真审题，注意合理地把空间问题转化为平面问题．注意向量法的合理运用．