Question

设f(x)=

x

bx+c

（b，c为常数），若f(2)=

1

2

，且f(x)-

x

2

=0只有唯一实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）令a₁=1，a_n=f（a_n-1）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据题意利用待定系数法，先列出关于a，b的方程组，解方程组即可求出a，b的值，从而得出f（x）的解析式；
（2）根据（1）中求出的f（x）的解析式，分两种情况分别求解数列{a_n}的通项公式．一种情况是直接利用等比数列的通项公式求解；另一种情况是通过变形得到

1

an

+1=2（

1

an-1

+1），所以数列{

1

an

+1}是等比数列，写出数列{

1

an

+1}的通项公式，变形后即可得到{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵f(x)=

x

bx+c

（b，c为常数），若f(2)=

1

2

，且f(x)-

x

2

=0只有唯一实数根，
∴

f(2)= 2 2b+c = 1 2 x bx+c = x 2 只有一个实数根

，
∴

2b+c=4 b=0

或

2b+c=4 c-2=0

，
解得b=0，c=4，或b=1，c=2
∴f(x)=

x

4

或f(x)=

x

x+2

（2）当f(x)=

x

4

时得
a_n=f（a_n-1）=

1

4

a_n-1，又a₁=1，
∴数列{a_n}是一个首项为1，公式为

1

4

的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=

1

4n-1

；
当f(x)=

x

x+2

时得
a_n=f（a_n-1）=

an-1

an-1+2

，
∴

1

an

=

2

an-1

+1，

1

an

+1=2（

1

an-1

+1），
又a₁=1，
∴数列{

1

an

+1}是一个首项为2，公式为2的等比数列，
∴

1

an

+1=2ⁿ，∴a_n=

1

2n-1

，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=

1

2n-1

．

点评：此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列，灵活运用等比数列的通项公式，是一道综合题．