Question

18．设函数f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）用g（x）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）-m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函数的对称轴，讨论a的范围，求出二次函数的最小值，求g（a）的解析式；
（2）判断存在，利用g（a）的单调性，求出g（a）的最小值，然后求解m的值．

解答 解：（1）对称轴 x=-a，
①当-a＜0即a＞0 时，函数f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]上是增函数，
当x=0 时有最小值 f（0）=-a-1                             …2分
②当-a≥2即a≤-2  时，函数f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]上是减函数，
x=2时有最小值，f（2）=3a+3                                …4分
③当0＜-a＜2即-2＜a＜0 时，函数f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]上是不单调，
x=-a时有最小值 f（-a）=-a²-a-1                     …6分
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-a-1，a≥0\\-{a}^{2}-a-1，-2＜a＜0\\ 3a+3，a≤-2\end{array}\right.$…8分
（2）存在，由题知g（a）在（-∞，$-\frac{1}{2}$）是增函数，在[$-\frac{1}{2}$，+∞）是减函数
a=$-\frac{1}{2}$时，g（a）_max=-$\frac{3}{4}$…10分
g（a）-m≤0恒成立，可得g（a）_max≤m，∴$m≥-\frac{3}{4}$…12分，
∵m为整数，∴m的最小值为0 …13分

点评 本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论、计算能力．