Question

△ABC中，三内角A，B，C分别对三边a，b，c，已知a=1，当时cosA+2cos

B+C

2

取最大值时，△ABC面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：由诱导公式和二次函数的最值易得A=60°时，原式取到最大值，由余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式可得．

解答： 解：由题意可得cosA+2cos

B+C

2

=cosA+2cos（

π-A

2

）
=cosA+2sin

A

2

=-2sin²

A

2

+2sin

A

2

+1，
由二次函数可知当sin

A

2

=

1

2

即A=60°时，上式取到最大值，
由余弦定理可得1=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤1，当且仅当b=c=1时取等号，
∴△ABC面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题考查三角形的面积公式和余弦定理，涉及二次函数的最值和三角函数公式的应用以及基本不等式，属中档题．