Question

某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）•（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=
（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：人）与x的函数关系式；
（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？

Answer 1

解：（Ⅰ）当x=1时，f（1）=p（1）=37，
当2≤x≤12，且x∈N^*时，
f（x）=P（x）-P（x-1）=x（x+1）（39-2x）-（x-1）x（41-2x）=-3x²+40x．…（5分）
验证x=1符合f（x））=-3x²+40x（x∈N^*，且1≤x≤12））…（6分）
（Ⅱ）第x月旅游消费总额为g（x）=（x∈N^*）
即g（x）=（x∈N^*）…（8分）
当1≤x≤6，且x∈N^*时，g′（x）=18x²-370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．
∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，
∴当x=5时，g（x）_max=g（5）=3125（万元）．…（10分）
当7≤x≤12，且x∈N^*时，g（x）=-480x+6400是减函数，∴当x=7时，g（x）_max=g（7）=3040（万元），
综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．…（12分）
分析：（Ⅰ）根据所给的前x个月旅游人数的和，可以得到第x个月的旅游人数，注意验证第一个月的旅游人数符合表示式．
（Ⅱ）根据所给的表示式，写出第x月旅游消费总额，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到最大月旅游消费总额．
点评：本题考查函数模型的选择和导数的应用，本题解题的关键是写出分段函数，要分别求出两段函数的最大值，进行比较．