Question

（2013•江苏）在正项等比数列{a_n}中，a5=

1

2

，a₆+a₇=3，则满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为

12

．

Answer 1

分析：设正项等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a₁+a₂+…+a_n及a₁a₂…a_n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．

解答：解：设正项等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，
由题意可得

a1q4= 1 2 a1q5(1+q)=3

，解之可得：a₁=

1

32

，q=2，
故其通项公式为a_n=

1

32

×2n-1=2^n-6．
记T_n=a₁+a₂+…+a_n=

1 32 (1-2n)

1-2

=

2n-1

25

，
S_n=a₁a₂…a_n=2^-5×2^-4…×2^n-6=2^-5-4+…+n-6=2

(n-11)n

2

．
由题意可得T_n＞S_n，即

2n-1

25

＞2

(n-11)n

2

，
化简得：2ⁿ-1＞2

1

2

n2-

11

2

n+5，即2ⁿ-2

1

2

n2-

11

2

n+5＞1，
因此只须n＞

1

2

n2-

11

2

n+5，即n²-13n+10＜0
解得

13- 129

2

＜n＜

13+ 129

2

，
由于n为正整数，因此n最大为

13+ 129

2

的整数部分，也就是12．
故答案为：12

点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．