Question

函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数的充要条件是a=

-1

．

Answer 1

分析：根据奇函数的定义，可得f（-x）=-f（x），代入计算即可确定a的值，再验证即可．

解答：解：必要性：因为函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数，则f（-x）=-f（x）
∴

(-x)2+a(-x)

(-x+1)(-x-1)2

=-

x2+ax

(x+1)(x-1)2

∴f（-2）=-f（2）
∴

(-2)2+a(-2)

(-2+1)(-2-1)2

=-

x22+2a

(2+1)(2-1)2

解得a=-1；
充分性：当a=-1时，f(x)=

x2-x

(x+1)(x-1)2

=

x

(x+1)(x-1)

，此时满足f（-x）=-f（x），
故函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数．
∴函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数的充要条件是a=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查函数奇偶性，考查学生的计算能力，考查充要条件，属于基础题．