Question

(20) (本题满分14分) 已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．

(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；
(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)2.

试题分析：(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB． …………6分

(Ⅱ) 解：连结PO．由条件可得PO＝，AC＝2，
PA＝PC＝2，CO＝AO＝．
设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．
因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，
同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．
所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，
∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，
又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．
在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，
故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2．        …………14分
利用体积法相应给分
点评：熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理以及线面角等知识点是解题的关键．利用三角形的中位线定理是证明线线平行常用的方法之一．